Macierz transponowana

Macierz transponowana $\mathbf{M^{T}}$ macierzy $\mathbf{M} $to taka macierz w której elementy o współrzędnych $\mathbf{(i,j)}$ zostały umieszczone pod współrzędnymi $\mathbf{(j,i)}$. Przy czym pierwsza współrzędna to wiersz, druga to kolumna.

Szczególna właściwość macierzy kwadratowej:

$\det M=\det M^T$

Właściwości:

$(A^{-T})^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=A^{T}B^{T}$
$(cA)^T=c(A)^T$
$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

Przykłady:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}^T=\;\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}^T=\;\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Dla macierzy kwadratowych elementy po przekątnej zostają na swoim miejscu, zaś pozostałe są symetrycznie odbijane względem tej przekątnej.