Dopełnienie algebraiczne macierzy

Dopełnienie algebraiczne i-tego wiersza, j-tej kolumny macierzy $\mathbf{M}$ to:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det M_{ij}$

Macierz $\mathbf{M_{ij}}$ to macierz powstała z $\mathbf{M}$ poprzez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Dopełnienie algebraiczne istnieje tylko dla macierzy kwadratowych.

Przykład:

$M=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}$

$M_{22}=\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}$

$\det M_{22}=1\cdot 9 - 3\cdot 7=9-21=(-12)$

$C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot (-12)=(-12)$