Równanie płaszczyzny

Równanie płaszczyzny ma postać:

$\vec N \cdot (X - X_0)$

, gdzie $\mathbf{\vec N=[A,B,C]}$ to normalna płaszczyzny, $\mathbf{X=(x,y,z)}$ to dowolny punkt płaszczyzny, $\mathbf{X_0=[x_0,y_0,z_0]}$ to znany punkt płaszczyzny. Iloczyn skalarny dwóch wektorów wzajemnie do siebie prostopadłych równy jest zeru. Równianie to więc spełniają takie $\mathbf{x}$, które leżą na płaszczyźnie prostopadłej do $\mathbf{\vec N}$ i przechodzącej przez punkt $\mathbf{X_0}$.

Podstawiając współrzędne:

$\vec N \cdot (X - X_0)$
$[A,B,C] \cdot [x-x_0,y-y_0,z-z_0]=0$
$Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0$
$Ax+By+Cz+D=0$

Jest to algebraiczna postać płaszczyzny. D to dowolna stała. Możmy powiedzieć, że -D to rzut punktu $\mathbf{X_0}$ na wektor $\mathbf{\vec N}$. Jest to minimalna odległość płaszczyzny od początku układu współrzędnych. $A,B,C,D mogą przyjmować dowolne wartości, tak by $\mathbf{|\vec N|} \neq 0$.

Równanie płaszczyzny możemy też zapisać jako:

$\vec N \cdot (X - X_0)$
$\vec N \cdot X - \vec N \cdot X_0)$
$\vec N \cdot X + D$

Bardzo często musimy określić płaszczyznę mając jej trzy punkty. Punkty powinny być niewspółliniowe. Budujemy z nich dwa wektory równoległe do płaszczyzny, ich iloczyn wektorowy to normalna.

Mając dowolny punkt płaszczyzny $\mathbf{p}$ minimalna odległość do początku układu współrzędnych to rzut wektora $\mathbf{[p_x-0,p_y-0,p_z-0]}$ na wektor $\mathbf{\vec N}$. Pod warunkiem, że wektor normalny jest znormalizowany jest to ich iloczyn skalarny.