Iloczyn skalarny wektorów

Jest liczbą. Można go zdefiniować w dowolnie wymiarowej przestrzeni. Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\mathbf{\vec a}$ i $\mathbf{\vec b}$ definiujemy jako:

$a \cdot b = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

Jeśli wektory potraktować jako kolumnowy macierzy to:

$a \cdot b = a^{T}b = b^{T}a$

W interpretacji geometrycznej:

$a \cdot b=\left | a \right | \, \left | b \right | \cos \theta$

W szczególności jeśli wektory są jednostkowe to iloczyn skalarny jest cosinusem kąta między nimi. Jeśli wektory są do siebie prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy zero, zaś jeśli równoległe to jeden.

Właściwości:

$a \cdot b = b \cdot a$
$a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$
$a \cdot (rb+c) = r(a \cdot b) + a \cdot c$
$r_1 a \cdot r_2 b = r_1 r_2 (a \cdot b)$
$|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$ (z porównania z iloczynem wektorowym)