Odległość punktu od płaszczyzny

Mamy dowolny punkt płaszczyzny $\mathbf{x_0}$, jej normalną $\mathbf{\vec n}$. Należy znaleźć odległość punktu $\mathbf{x}$ od płaszczyzny. Jest to odległość minimalna, czyli odległość pomiędzy punktem $\mathbf{x}$, a takim punktem płaszczyzny, że wektor wyznaczony przez te dwa punkty jest równoległy do normalnej płaszczyzny.

Odległość ta jest niczym innym jak długością rzutu wektora $\mathbf{\vec v = x_0 - x}$ na wektor normalny. Czyli:

$d=|(\vec v \cdot \vec n) \hat n|$
$d=|((x-x_0) \cdot \vec n) \hat n|$

Jeśli wektor $\mathbf{\vec n}$ jest znormalizowany to:

$d=\vec v \cdot \vec n$
$d=(x-x_0) \cdot \vec n$

W szczególności jeśli punkt $\mathbf{x=(0,0,0)}$ to otrzymujemy odległość płaszczyzny od początku układu współrzędnych ze znakiem minus.

Znak $\mathbf{d}$ wskazuje nam po której stronie płaszczyzny leży punkt $\mathbf{x_0}$.