Iloczyn wektorowy

Istnieje tylko w przestrzeni trójwymiarowej. Jego wynikiem jest wektor $\mathbf{\vec C}$ normalny do płaszczyzny zawierającej dwa inne wektory $\mathbf{\vec A}$ i $\mathbf{\vec B}$, których jest produktem. Jego długość równa jest polu równoległoboku zbudowanego na wektorach $\mathbf{\vec A}$ i $\mathbf{\vec B}$. Zaś połowa długości to pole trójkąta, którego dwa boki to $\mathbf{\vec A}$ i $\mathbf{\vec B}$.

Jego zwrot wyznacza reguła prawej dłoni. Przy czym wizualnie możemy go skierować na dwa sposoby w zależności od skrętności układu współrzędnych.

Tutaj mamy przykład układu lewoskrętnego:

Iloczyn oznaczamy jako:

$\vec C = \vec A \times \vec B$

Sposób jego obliczania:

$\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

Jego wartość:

$\left | \vec C \right |= \left | A \right |\left | B \right |\sin\theta$

Iloczyn wektorowy wyznacza nam także zwroty wersorów układu współrzędnych:

$\hat x \times \hat y = \hat z$
$\hat y \times \hat z = \hat x$
$\hat z \times \hat x = \hat y$

Właściwości:

$a \times b = -b \times a = - (b \times a)$
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
$(ra) \times b = a \times (rb) = r(a \times b)$
$ |a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$ (z porównania z iloczynem skalarnym)

Jeśli dwa wektory są do siebie równoległe to ich iloczyn wektorowy równy jest zeru.