Window function - Kaiser w Python

Tutaj implementacja w Python z wykorzystaniem odwołania do scipy.special.iv, czyli Modified Bessel function of first order. Mam nadzieję, że w następnym poście podam kod na scipy.special.iv. Wtedy wszystko będzie już gotowe do przeniesienia w C#. By tam generować BLEP-y programowo jakie się nam wymarzy.

def kaiser(samples, beta):
    result = [0] * samples
    M = samples - 1
    for i in range(samples):
        num = special.iv(1, beta*math.sqrt(1-(2*i/M - 1)**2))
        den = special.iv(1, beta)
        result[i] = num / den
    return result

Transformata Z i równanie różnicowe filtru dolnoprzepustowego drugiego stopnia

Filtr dolnoprzepustowy pierwszego stopnia zostanie omówiony w innym poście. Nie możemy użyć poniższych wzorów podstawiając po prostu A=0. Ale za to podstawienie A=0 i B=0 daje poprawne wyniki.

Filtru dolnoprzepustowego drugiego stopnia:

$H(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s(R_1 C_1 + R_2 C_2) + 1}$

Ogólnie:

$H(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2 A + s B + 1}$

Filtr pierwszego stopnia to filtr dla którego A = 0.

Korzystając z wzoru na związek pomiędzy transformatą Laplaca a Z:

$s =\displaystyle\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}$

Po przekształceniach otrzymujemy:

$H(z) = \displaystyle\frac{T^2 + 2T^2z^{-1} + T^2 z^{-2}}{4A+2TB+T^2 + (2T^2-8A)z^{-1}+(4A-2TB+T^2)z^{-2}}$

Co możemy zapisać jako:

$H(z)=\displaystyle\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$

, gdzie:

$a_0=4A+2TB+T^2$
$a_1=(2T^2-8A)/{a_0}$
$a_2=(4A-2TB+T^2)/{a_0}$
$b_0={T^2}/{a_0}$
$b_1={2T^2}/{a_0}$
$b_2={T^2}/{a_0}$

T to okres co jaki chcemy otrzymywać kolejne próbki, w naszym przypadku jest to częstotliwość z jakiej wielokrotnością custom chip jest w stanie zmieniać wyjście.

Filtr zapisany w takiej postaci to Digital biquad filter.

Takie funkcji przejścia odpowiada następujące równianie różnicowe:

$y(n) = b_0x(n) + b_1x(n-1) + b_2x(n-2) - a_1y(n-1) - a_2y(n-2)$

Wszystko to pozwala nam na generowania przebiegów BLEP wprost z równania różnicowego, którego parametry są bezpośrednio określone parametrami elektrycznymi filtra i częstotliwością z jaką chcemy ciągły sygnał próbkować.