Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy istnieje tylko dla macierzy kwadratowych. Wyznacznik macierzy przyporządkowuje dowolnej macierzy $\mathbf{n\times n}$ liczbę.

Wyznacznik oznaczamy:

$\det M=\begin{vmatrix}m_{11} & m_{21} & \cdots & m_{n1} \\m_{12} & m_{22} & \cdots & m_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\m_{1n} & m_{2n} & \cdots & m_{nn}\end{vmatrix}$

Definicja wyznacznika:

$\det M=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}m_{ij}\det M_{i, j}$

Jest to definicja rekurencyjna. $\mathbf{M_{i, j}}$ oznacza macierz powstałą przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Dla macierzy $\mathbf{2\times 2}$:

$\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc$

W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna wyznacznika macierzy $\mathbf{2\times 2}$ to pole rombu, którego dwa boki to wektory wyznaczane przez kolumny lub wiersze macierzy.

Dla macierzy $\mathbf{3\times 3}$:

$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg$

W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna wyznacznika macierzy $\mathbf{3\times 3}$ to pole równoległościanu, którego trzy boki to wektory wyznaczane przez kolumny lub wiersze macierzy.

Warto zauważyć, że są to sumy iloczynów elementów po przekątnych z odpowiednim znakiem. Niestety dla wyższych wymiarów nie jest już tak prosto.

Właściwości

• $\det M = \det M^T$
• zmiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy zmienia tylko znak wyznacznika
• jeśli dwa wiersze lub kolumny są do siebie proporcjonalne to wyznacznik macierzy jest zerowy
• Pomnożenie dowolnej kolumny lub wiersza przez stałą zwiększa wyznacznik razy ta stała
• Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn
• Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika
• $\det M^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det M}$
• $\det kM_{n \times n}=k^n \det M$
• $\det A \cdot \det B = \det (A \cdot B)$

Większość tych właściwości ma znaczenie przy rozwiązywaniu układu równań. Ale co niektóre możemy odnieść do sytuacji w której kolumny macierzy wyznaczają osie nowego układu współrzędnych do którego dokonujemy transformacji.