Transformata Z i równanie różnicowe filtru dolnoprzepustowego drugiego stopnia

Filtr dolnoprzepustowy pierwszego stopnia zostanie omówiony w innym poście. Nie możemy użyć poniższych wzorów podstawiając po prostu A=0. Ale za to podstawienie A=0 i B=0 daje poprawne wyniki.

Filtru dolnoprzepustowego drugiego stopnia:

$H(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2 R_1 R_2 C_1 C_2 + s(R_1 C_1 + R_2 C_2) + 1}$

Ogólnie:

$H(s) = \displaystyle\frac{1}{s^2 A + s B + 1}$

Filtr pierwszego stopnia to filtr dla którego A = 0.

Korzystając z wzoru na związek pomiędzy transformatą Laplaca a Z:

$s =\displaystyle\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}$

Po przekształceniach otrzymujemy:

$H(z) = \displaystyle\frac{T^2 + 2T^2z^{-1} + T^2 z^{-2}}{4A+2TB+T^2 + (2T^2-8A)z^{-1}+(4A-2TB+T^2)z^{-2}}$

Co możemy zapisać jako:

$H(z)=\displaystyle\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}} {1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2} }$

, gdzie:

$a_0=4A+2TB+T^2$
$a_1=(2T^2-8A)/{a_0}$
$a_2=(4A-2TB+T^2)/{a_0}$
$b_0={T^2}/{a_0}$
$b_1={2T^2}/{a_0}$
$b_2={T^2}/{a_0}$

T to okres co jaki chcemy otrzymywać kolejne próbki, w naszym przypadku jest to częstotliwość z jakiej wielokrotnością custom chip jest w stanie zmieniać wyjście.

Filtr zapisany w takiej postaci to Digital biquad filter.

Takie funkcji przejścia odpowiada następujące równianie różnicowe:

$y(n) = b_0x(n) + b_1x(n-1) + b_2x(n-2) - a_1y(n-1) - a_2y(n-2)$

Wszystko to pozwala nam na generowania przebiegów BLEP wprost z równania różnicowego, którego parametry są bezpośrednio określone parametrami elektrycznymi filtra i częstotliwością z jaką chcemy ciągły sygnał próbkować.