Impuls, Splot, rodzaje filtrów, odpowiedź impulsowa

W poprzednich postach podałem przykład funkcji sinc i jej transformacji. W miarę jak będziemy brać coraz większy zakres czasu prostokąt po stronie częstotliwości będzie mieć coraz mniejsze oscylacje w punkcie skoku. W miarę jak nasza funkcja sinc będzie coraz węższa nasz prostokąt będzie coraz szerszy. Nasza funkcja sinc będzie coraz bardziej przypominać impuls. Innymi słowy transformatą impulsu jest nieskończone widmo częstotliwości o takiej samej amplitudzie. Impuls jest paczką sinusoid o wszystkich częstotliwościach i takiej samej amplitudzie.

Splot funkcji definiujemy jako:

$f(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

Istnieje także jego dyskretny odpowiednik. W transformacie Fouriera splot ma bardzo ważną cechę. Mianowicie mnożeniu funkcji po stronie częstotliwości odpowiada splot po stronie czasu i na odwrót.

Co się stanie jeśli na jakiś filtr, czyli obiekt który odpowiednio filtruje częstotliwości sygnały wejściowego podamy impuls. Impuls to nieskończone widmo częstotliwości. Odpowiedz którą otrzymamy to suma odfiltrowanych sinusoid. Taka odpowiedź daje nam jednoznaczną informację o charakterystyce częstotliwościowej filtru.

W zależności od cech odpowiedzi możemy różnie klasyfikować filtry. Ze względu na energię sygnału wyjściowego: aktywne (dodają energii) i bierne (nie dodają energii, inaczej pasywne). Ze względu na czas po jakim następuje odpowiedź na sygnał wejściowy, czy jest on zawsze taki sam, czy od czegoś zależy np. od sygnału wcześniejszego. W szczególności mówimy, że filtr jest niezmienny w czasie (time-invariant) jeśli na każdą pojedyńczą sinusoidę odpowiada on w taki sam sposób i po takim samym czasie. Inną cechą filtrów jest ich linearność, bądź i nie. Filtr jest linearny jeśli dowolne rozłożenie sygnału wejściowego, w szczególności na pojedyncze sinusoidy i ich przefiltrowanie, a następnie złożenie sygnału wyjściowego równe jest odpowiedzi filtru na złożony sygnał wejściowy. Inaczej filtr filtruje każdą częstotliwość niezależnie od innych. Innym podziałem jest FIR (finite impulse response) i IIR (infinite impulse response). Odpowiedź filtru FIR zanika w skończonym czasie, zaś odpowiedź filtru IIR nie - asymptotycznie zmierza do zera z reguły oscylując. Filtr IIR możemy przyciąć do FIR zwłaszcza jeśli posługujemy się jego dyskretną postacią.

Wszystkie filtry o których będziemy mówić są pasywne, liniowe, time-invariant, FIR.

Robiąc z filtru IIR filtr FIR wprowadzamy błąd. Dobierając odpowiednio długość FIR możemy te zniekształcenia przenieść poniżej rozdzielczości sygnału. Lub powyżej częstotliwości poniżej których nie powinno ich być (jak w sygnale audio). Część błędu, czyli oscylacje na brzegach możemy zmniejszyć splatając odpowiedzieć impulsową z oknem. Funkcji okien jest bardzo wiele - po stronie częstotliwości mają one kształt okna, najprostszym jest RECT.

Jak wcześniej powiedzieliśmy mnożeniu po stronie częstotliwości odpowiada splot po stronie czasu. W tym przypadku splot funkcji i odpowiedzi impulsowej. Jest to bardzo ważna cecha pozwalająca nam bez użycia transformat filtrować sygnał.