Transformata Fouriera

Istnieje wiele transformat, które generalnie można powiedzieć przekształcają funkcję z jednej przestrzeni w inną. Z reguły istnieje także transformata odwrotna. Nie wszystkie funkcje da się także poddać takiej transformacji. Transformata Fouriera to takie przekształcenie, które możemy zinterpretować jako przekształcenie funkcji w dziedzinie czasie w funkcję w dziedzinie częstotliwości.

$f(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x t}dt$

Transformata odwrotna:

$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\omega)\ e^{2 \pi i x \omega}d\omega$

W wyniku transformacji funkcji o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej transformata Fouriera jest symetryczna względem zera. Tylko taka symetria po stronie częstotliwości gwarantuje nam otrzymanie funkcji o wartościach rzeczywistych podczas transformacji odwrotnej. Ma to szczególne znaczenie podczas dyskretnej transformaty Fouriera kiedy niedokładności w symetrii są częste.

Po stronie częstotliwości widmo sygnału interpretujemy jako sumę sinusoid o danych częstotliwościach, przesunięciu fazowym i amplitudzie. Ponieważ we wzorach mamy całkę, a nie sumę, musiała by to być suma nieskończona. Przechodząc z całek na sumy przechodzimy na dyskretną transformatę Fouriera. Wynikiem transformaty jest funkcja liczby zespolonej - jej moduł to amplituda dla danej częstotliwości, jej przesunięcie fazowe to przesunięcie fazowe sinusoidy o danej częstotliwości.

Ponieważ z reguły jesteśmy zainteresowaniu amplitudą widma jej wykresy najczęściej podaje się po stronie częstotliwości. Przesunięcia fazowe z reguły pomija się. Zauważmy, że dla różnie poprzesuwanych składowych sinusoid widmo amplitud jest takie same. I drugiej strony przesuniecie funkcji w czasie nie zmienia jej widma. Właściwość ta jest wykorzystywana podczas kompresji obrazów i filmów. Szczególnym przypadkiem dobrania przesunięć fazowych jest funkcja o minimalnym przesunięciu fazowym (jest to taka funkcja w której w dowolnym czasie $<0,t>$ energia sygnału jest maksymalna).

W wyniku tego, że dyskretna transformata Fouriera operuje na dyskretnych wartościach wprowadza ona błędy. Wspomnianą wcześniej asymetrię funkcji rzeczywistej i nierzeczywistą postać jej transformacji odwrotnej. Innym rodzajem błędu jest to, że pojedyncza sinusoida może być reprezentowana poprzez rozmyty pik po stronie częstotliwości. Dlatego po retransformatą warto wziąć jej część rzeczystą (nie moduł).

W dalszej części będziemy mówili tylko o transformacji dyskretnej.

Oto przykład transformaty funkcji sinc:

Teoretycznie jej transformatą powinien być prostokąt. W rzeczywistości ponieważ wartości są dyskretne, a funkcja nie jest nieskończona, transformata nie jest idealnym prostokątem i wykazuje oscylacje na brzegach skoku. Są one tym mniejsze im nasz sinc jest dłuższy.

Dla transformaty odwrotnej: sinc po stronie częstotliwości będzie prostokątem po stronie czasu z takimi samymi oscylacjami na brzegach. Ponieważ nasz sinc jest skończony w czasie brakuje nam widma dla wyższych częstotliwości i one uniemożliwiają nam zreprodukowanie skoku i zlikwidowanie oscylacji - można powiedzieć ich wygaszenie.

Przykład jak może wyglądać transformacja złożenia dwóch sinusoid o f=650 i f=1500. Oczywiście w zależności jak dobierzemy krok próbkowania naszych ciągłych funkcji, ilości próbek czasu i ilości próbek częstotliwości możemy otrzymać wykres bardziej lub mniej przypominający piki.

Warto podkreślić, że dyskretna transformata jest bezwymiarowa podobnie jak wartości wejściowych próbek. Chcąc otrzymać wartości częstotliwości na osi musimy je policzyć.

Skończony sygnał w czasie nieokresowy wymaga do opisu nieskończonego widma częstotliwości. Podobnie jest z nieciągłościami w czasie. I drugą stronę: skończone widmo nie powoli nam na opisanie skończonego w czasie sygnału. Te dwa ograniczenia silnie wiążą się z DFFT, której liczba próbek jest skończona.